اللولب اللوغاريتمي في قوقعة نوتيلوس: علاقة مع متتالية فيبوناتشي

 

مقطع عرضي لصدفة نوتيلوس يظهر الغرف مرتبة في دوامة لوغاريتمية تقريبيًا. (المصدر)

شكل قوقعة النوتيلوس يُعد مثالًا بارزًا على اللولب اللوغاريتمي، وهو نوع من المنحنيات التي تنمو بشكل متزايد باتجاه الخارج مع استمرارها في الالتفاف حول نقطة مركزية. في قوقعة النوتيلوس، كل حجرة جديدة يضيفها الكائن أثناء نموه تكون أكبر نسبيًا من الحجرة السابقة، مما يُحافظ على الشكل الحلزوني العام. هذا النمط في النمو يسمح للنوتيلوس بالتوسع دون تغيير شكله العام، مما يوفر له الاستقرار البنيوي واستخدامًا فعالًا للمساحة.

العلاقة بالرياضيات

غالبًا ما يُربط اللولب اللوغاريتمي بـ النسبة الذهبية ( 1.618) ومتتالية فيبوناتشي، حيث تقترب نسبة الأعداد المتتالية في المتتالية من النسبة الذهبية. ومع ذلك، فإن نمو قوقعة النوتيلوس لا يتماشى تمامًا مع متتالية فيبوناتشي أو النسبة الذهبية. بل إن شكل القوقعة هو نتيجة عمليات بيولوجية تتبع مبادئ النمو اللوغاريتمي بشكل عام.

الخصائص الرئيسية لقوقعة النوتيلوس:

1.       لولب لوغاريتمي: المسافة بين لفات اللولب تزداد بنسبة ثابتة.

2.       التشابه الذاتي: تنمو الحجرات في الحجم مع الحفاظ على نفس النسب.

3.       تصميم وظيفي: تُستخدم الحجرات للتحكم في الطفو، مما يساعد النوتيلوس على التحرك عموديًا في الماء.

الطبيعة والمفاهيم الخاطئة.

رغم أن قوقعة النوتيلوس تُعد هيكلًا جميلًا وفعّالًا، فإن العلاقة الرياضية الدقيقة بين شكلها ومتتالية فيبوناتشي أو النسبة الذهبية غالبًا ما تكون مبالغًا فيها. التشابه هنا تقريبي أكثر مما هو دقيق، ونمو القوقعة يتم تحديده بشكل أكبر بناءً على الكفاءة البيولوجية وليس بالضرورة استنادًا إلى مبادئ رياضية محددة.

*****

ليوناردو بيسانو بيغولو (حوالي 1170–1250)، المعروف أيضًا باسم ليوناردو البيزي أو ببساطة فيبوناتشي، كان واحدًا من أشهر علماء الرياضيات في العصور الوسطى. قام بنشر نظام الأرقام الهندي-العربي في أوروبا من خلال كتاب Liber Abaci  (كتاب الحساب)، الذي نُشر عام 1202. يعتمد هذا النظام الرقمي على عشرة رموز مختلفة، بما في ذلك الصفر. وهو النظام الذي نستخدمه اليوم: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 0.

وضع فيبوناتشي أيضًا الأسس لفهمنا الرياضي الحديث لبعض الأشكال في الطبيعة، بما في ذلك قواقع النوتيلوس. في كتابه، قدّم ما يُعرف اليوم بـ "عدد فيبوناتشي" أو "متتالية فيبوناتشي"، والتي يمكن وصفها كالتالي:

تخيل أنك وضعت زوجًا من الأرانب الصغيرة في حديقة. في الشهر الأول، يكون الزوج صغيرًا جدًا بحيث لا يمكنه التكاثر. في الشهر الثاني، وفي كل شهر بعد ذلك، يُنتج الزوج زوجًا جديدًا من الأرانب. إذا قام كل زوج جديد بالأمر ذاته، فإن عدد الأزواج يزداد شهريًا وفقًا للتسلسل التالي، الذي يبدأ بـ 0 و1: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987. كل عدد في هذه السلسلة هو مجموع العددين السابقين له.

الشكل .1

الشكل 1، عبارة تقريب للولب لوغاريتمي تم إنشاؤه عن طريق رسم أقواس دائرية تربط بين الزوايا المتقابلة للمربعات في تكسية تعتمد على متتالية فيبوناتشي. في هذا المثال، تم استخدام مربعات بأحجام 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، و34.  (مصدر الصورة).

التبليط باستخدام مربعات بأطوال جوانب متتالية من أعداد فيبوناتشي (المصدر).

تعلم الرياضيون استخدام تسلسل فيبوناتشي لوصف بعض الأشكال التي تظهر في الطبيعة. تُسمى هذه الأشكال "الدوامات اللوغاريتمية"، وصواريق نوتيلوس هي مثال واحد فقط. يمكنك أيضًا رؤية أشكال الدوامات اللوغاريتمية في المجرات الحلزونية، وفي العديد من النباتات مثل عباد الشمس.

تشكل الطبيعة هذه الدوامات بأكثر الطرق كفاءة ممكنة، وقد تعلم الرياضيون وصفها باستخدام تسلسل فيبوناتشي.

الخلاصة: تعتبر  قوقعة نوتيلوس مثالًا رائعًا على الشكل الطبيعي الذي يعكس النمو البيولوجي باستخدام مبدأ يشبه اللولب اللوغاريتمي. ورغم أن هذا الشكل يظهر تقاربًا مع متتالية فيبوناتشي، إلا أن العلاقة ليست دقيقة تمامًا. لكن بفضل تسلسل فيبوناتشي، استطاع العلماء فهم هذا النمو في الطبيعة بشكل أكثر دقة.