في مديح الرياضيات (3)

 

 فلسفة ورياضيات أو قصة زوج قديم

أود أن نبحث عن كثب في الروابط بين الفلسفة والرياضيات. لقد ذكرت سابقًا أنهما كانا "زوجًا قديمًا": فقد كتب أفلاطون في مدخل أكاديميته: "لا يدخل هنا من ليس هندسيًا". كيف يمكننا تفسير هذه العلاقة؟

في الواقع، كانت الرياضيات والفلسفة مرتبطتين منذ نشأتهما، إلى درجة أن مجموعة من الفلاسفة المعروفين – أفلاطون، وكذلك ديكارت، سبينوزا، كانت، وسيرل – أعلنوا رسميًا أنه لولا الرياضيات، لما كانت هناك فلسفة. إذًا، كانت الرياضيات في وقت مبكر جدًا – وبشكل واضح لدى أفلاطون – تُعتبر شرطًا مسبقًا لولادة الفلسفة العقلانية. لماذا؟ ببساطة لأن الرياضيات كانت مثالًا على عملية معرفية، إذا جاز لي القول، "قائمة بذاتها". أي عندما يكون لديك برهان، فإنك بالفعل تمتلك برهانًا! وهذا يختلف تمامًا عن الحالة التي تكون فيها الحقيقة مُقرّة من قبل كاهن أو ملك أو إله. فالكاهن أو الملك أو الإله على صواب لأنهم كهنة أو ملوك أو آلهة. وعلاوة على ذلك، إذا كنت تخالفهم، فسوف تُعلم بذلك سريعًا... بينما بالنسبة لعالم الرياضيات، الأمر ليس كذلك على الإطلاق: فهو ملزم ببناء عملية معرفية ستُعرض على زملائه وخصومه. وإذا كان برهانه خاطئًا، سيُخبَر بذلك.

لذلك، شُكّلت الرياضيات منذ وقت مبكر جدًا، منذ اليونان القديمة، عالمًا تُعتبر فيه الأشياء صحيحة ومعترف بها فقط إذا تم توثيقها وقبولها من قبل مجتمع الأشخاص الذين "يعرفون ما يتحدثون عنه"، وليس بسبب مجرد السلطة التي تترتب على كون الشخص "عالم رياضيات". على العكس، فإن عالم الرياضيات هو الذي يقدم للمرة الأولى مفهومًا عالميًا، خاليًا تمامًا من أي افتراضات أسطورية أو دينية، والذي لم يعد يأخذ شكل السرد، بل يتخذ شكل البرهان. الحقيقة المبنية على السرد هي "الحقيقة" التقليدية، الأسطورية أو المُعلنة. تُزلزل الرياضيات جميع السرديات التقليدية: البرهان يظهر باعتباره مستندًا فقط إلى العرض العقلاني، مفتوحًا للجميع ويمكن دحضه من حيث مبدئه نفسه، بحيث يجب على من أعلن بيانًا تبين أنه كاذب أن يعترف بذلك. ومن هذه الزاوية، تشارك الرياضيات في الفكر الديمقراطي، الذي ظهر أيضًا في اليونان في نفس الوقت الذي ظهرت فيه الرياضيات. كما أن الفلسفة لم تستطع أن تتكون في استقلالها – والتي لا تزال مهددة دومًا – عن السرد الديني إلا بفضل هذا الدعم الرسمي، الذي كان بلا شك مرتبطًا بمجال محدود من الفكر، ولكنه مجال ذو معايير مستقلة تمامًا، معايير واضحة يمكن للجميع معرفتها. كان يجب أن يكون البرهان برهانًا، وهذا كل شيء. ومن ثم، فإنه من الصحيح منذ البداية أن هناك ارتباطًا بين الرياضيات والديمقراطية (بالمعنى السياسي الحديث المعارض للسلطات التقليدية) والفلسفة.

إذن، هل وُلدت الرياضيات تاريخيًا قبل الفلسفة؟

إنها قصة معقدة وغير موثقة بشكل كافٍ. أشارك الرأي مع مؤرخ وفيلسوف العلوم أرپاد سزابو (Arpad Szabo): إذا تأملنا بعمق في فكر بارمينيدس، أو المدرسة الإيلية بأكملها (المكونة من سكان إيليا)، التي سبقت سقراط وأفلاطون وتعود إلى القرن الخامس قبل الميلاد، يمكننا أن نجد فيها تأثيرًا عميقًا لأساليب تفكير تحقق كمالها في الرياضيات. ومن بين هذه الأساليب نجد البرهان بالخُلف، والذي أعتبره عنصرًا حاسمًا في القوة العقلية التي قدمتها الرياضيات في ذلك الوقت. لقد درستُ هذه النقطة بالتفصيل خلال الندوة التي عقدتها في عامي 1985-1986 والتي خُصصت بالكامل لبارمينيدس. ببساطة، يهدف البرهان بالخُلف إلى إثبات صحة عبارة ما p ، ليس عبر بناء حقيقتها بشكل مباشر انطلاقًا من حقائق مُثبتة سابقًا، بل عبر إظهار أن العبارة المناقضة لها لا- p خاطئة بالضرورة. يتم تطبيق مبدأ "الثالث المرفوع" هنا، والذي ينص على: "إذا كانت لدينا العبارة p ، وهي عبارة مُركبة بشكل جيد (تتبع قواعد النظام النحوية)، فإن p  إما أن تكون صحيحة أو  لا- p  صحيحة. لا يوجد احتمال ثالث." إنه إجراء استثنائي، لأنه يُثبت صحة العبارة بينما يتحرك بالكامل ضمن فرضية خاطئة. لكن كيف يمكننا إثبات أن لا- p   خاطئة؟ بكل بساطة، نفترض أن لا- p   صحيحة، ثم نستنتج من ذلك نتائج تتناقض مع حقائق مثبتة مسبقًا. وهنا يُطبق مبدأ عدم التناقض: بما أن لا- p   تتناقض مع عبارة أخرى q والتي هي صحيحة، وبما أن عبارتين متناقضتين لا يمكن أن تكونا صحيحتين معًا، فإنه يتوجب أن تكون لا- p   خاطئة، وبالتالي تكون p  صحيحة.

تشاهد المسار المذهل للإثبات: ترغب في إثبات أن  p   صحيح، ولديك أسبابك (هي فرضيتك). لتحقيق هذا الهدف، تقوم باختراع "خيال" مفاده أن " لا- p   صحيحة"، مع أمل داخلي بأن هذا الافتراض خاطئ! لتغذية هذا الأمل، تبدأ باستخلاص نتائج من هذا الافتراض الخيالي، وتتحرك بمنطق صارم عبر ما تعتقد أنه خطأ، إلى أن تصل إلى نتيجة تتناقض صراحة مع عبارة سبق إثبات صحتها. هذا التنقل المنظّم والخاضع للرقابة بين الصواب والخطأ هو، في رأيي، سمة جوهرية للرياضيات الناشئة، والتي تُحدث قطيعة واضحة مع أي حقيقة "معلنة" أو تستمد قوتها فقط من الطابع الشعري. نجد هذه "النغمة" ذاتها عند بارمنيدس. ونجده لأنه، لإثبات أن "الوجود موجود" وأن هذه هي الحقيقة الأساسية، يبدأ أولًا بإثبات أن "العدم غير موجود". وبذلك، فهو يستعمل منهج البرهان بالخلف. استنتاجي واضح: الفلسفة العقلانية والرياضيات وُلدتا معًا، ولا يمكن أن يكون الأمر على غير ذلك.

السابق                                التالي